Lie-Gruppe


Lie-Gruppe
Lie-Gruppe,
 
liesche Gruppe, von M. S. Lie im Zusammenhang mit der Untersuchung von Transformationsgruppen von Geometrien und von Lösungsmengen von Differenzialgleichungen eingeführte Objekte. Es sei z. B. (Ḡ, °) die Gruppe der umkehrbaren (invertierbaren) linearen Transformationen des dreidimensionalen euklidischen Vektorraumes V3 über den reellen Zahlen mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung. Diese entspricht durch Auszeichnung einer Basis umkehrbar eindeutig der multiplikativen Gruppe der invertierbaren dreireihigen quadratischen Matrizen (G, °). G denke man sich in den neundimensionalen euklidischen Vektorraum ℝ9 eingebettet, sodass die Matrizenelemente die Koordinaten der jeweiligen Matrix im ℝ9 werden. Die euklidische Metrik des ℝ9 induziert eine Topologie auf G, sodass G eine topologische, sogar eine differenzierbare Mannigfaltigkeit wird. Die Koordinaten des Produktes C zweier Elemente A und B aus G sind (im ℝ9 betrachtet) die Werte von Polynomen, die sich aus den Gesetzen der Matrizenmultiplikation ergeben, wenn man die Koordinaten von A und B, also die Matrizenelemente, einsetzt. Das Produkt wird damit durch Funktionen beschrieben, die analytisch sind, d. h. sich um jeden Punkt in Potenzreihen entwickeln lassen.
 
Allgemein ist eine Lie-Gruppe eine Gruppe (L, °), die folgende weitere Bedingungen erfüllt: 1) L ist eine reelle oder komplexe differenzierbare Mannigfaltigkeit, bei der die Koordinatentransformationen durch beliebig oft differenzierbare Funktionen beschrieben werden; 2) ϕ : L × LL, definiert durch ϕ (X, Y) : X · Y-1 ist analytisch; d. h., die Funktionen, die diese Abbildung in Koordinaten beschreiben, sind analytisch. Beispiele sind in Verallgemeinerung des Obigen die Gruppen der invertierbaren linearen Abbildungen von endlichdimensionalen Vektorräumen in sich. - Zu jeder Lie-Gruppe gehört eine Lie-Algebra. Viele Eigenschaften der Lie-Gruppe spiegeln sich in den Eigenschaften dieser zugehörigen Lie-Algebra wider oder lassen sich durch Betrachtung dieser Algebra herleiten. Außer in vielen mathematischen Gebieten, besonders in der Differenzialgeometrie und Analysis, sind Lie-Gruppen bei der Behandlung von Fragen der theoretischen Physik, z. B. in der Kernphysik und in der Relativitätstheorie, von großer Bedeutung.

Universal-Lexikon. 2012.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Lie-Gruppe — Eine Lie Gruppe (auch Liesche Gruppe), benannt nach Sophus Lie, ist eine mathematische Struktur, die zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet wird. Lie Gruppen sind in fast allen Teilen der heutigen Mathematik sowie in der… …   Deutsch Wikipedia

  • Lie-Gruppe — Li grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lie group vok. Lie Gruppe, f rus. группа Ли, f pranc. groupe de Lie, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Lie-Algebren — Lie Algebra berührt die Spezialgebiete Mathematik Lineare Algebra Lie Gruppen Physik Eichtheorie ist Spezialfall von Vektorraum …   Deutsch Wikipedia

  • Lie-Unteralgebra — Lie Algebra berührt die Spezialgebiete Mathematik Lineare Algebra Lie Gruppen Physik Eichtheorie ist Spezialfall von Vektorraum …   Deutsch Wikipedia

  • Gruppe (Mathematik) — Gruppe (Axiome EANI) berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie ist Spezialfall von Magma (Axiom E) Halbgruppe (EA) Monoid (EAN) …   Deutsch Wikipedia

  • Gruppe Mathematik — Gruppe (Axiome EANI) berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie ist Spezialfall von Magma (Axiom E) Halbgruppe (EA) Monoid (EAN) …   Deutsch Wikipedia

  • Lie-Algebra — Eine Lie Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie Gruppen und differenzierbarer Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 …   Deutsch Wikipedia

  • Gruppe — Haufen; Menge; Partie; Posten; Klasse; Stand; Personenkreis; Kaste; Gesellschaftsschicht; Kohorte; Schicht; Kolonne; …   Universal-Lexikon

  • Lie-Theorie — Die Lie Theorie ist in der Mathematik eine Theorie, die sich mit dem Lösen von Differentialgleichungen beschäftigt. Sie wurde von Sophus Lie in den 1870er und den 1880er Jahren begründet. Die Lie Gruppen und die Lie Algebra haben sich aus der Lie …   Deutsch Wikipedia

  • Lie group — Li grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lie group vok. Lie Gruppe, f rus. группа Ли, f pranc. groupe de Lie, m …   Fizikos terminų žodynas